5.2 Остальные вакуумные решения


Метрика вне вращающегося шара:

Метрика Керра в координатах Бойера-Линдквиста (ЛЛ-2 104.2) (c=1):

\( ds^2=(1-\frac{rr_g}{\rho^2})dt^2-\frac{\rho^2}{\Delta}dr^2-\rho^2d{\theta}^2-(r^2+a^2+\frac{ra^2r_g}{\rho^2}\sin^2{\theta})\sin^2{\theta}d{\varphi}^2+\frac{2ra^2r_g}{\rho^2}\sin^2{\theta}d{\varphi}dt \quad (5.20) \)

\( \Delta=r^2-r_gr+a^2 , \quad \rho^2=r^2+a^2\cos{\theta} \)

\( \begin{pmatrix}1-\frac{r_gr}{\rho} & 0 & 0 & \frac{r_gra\,{\mathrm{sin}\left( \theta\right) }^{2}}{{\rho}^{2}}\cr 0 & -\frac{{r}^{2}}{{\rho}^{2}} & 0 & 0\cr 0 & 0 & -{\rho}^{2} & 0\cr \frac{r_gra\,{\mathrm{sin}\left( \theta\right) }^{2}}{{\rho}^{2}} & 0 & 0 &- {\mathrm{sin}\left( \theta\right) }^{2}\,\left( \frac{{rr_g}{a}^{2}\,{\mathrm{sin}\left( \theta\right) }^{2}}{{\rho}^{2}}+{r}^{2}+{a}^{2}\right) \end{pmatrix} \)

Эргосфера: \( r_0=\frac{r_g}{2}+\sqrt{(\frac{r_g}{2})^2-a^2\cos^2(\theta)} \)

Вторая поверхность с сингулярностью: \( r_{gor}=\frac{r_g}{2}+\sqrt{(\frac{r_g^2}{2})^2-a^2} \)

*Метрика Керра в координатах Керра.

\( ds^2=(1-\frac{rr_g}{\rho^2})dV^2-2drdV-\rho^2d{\theta}^2-\frac{<(r^2+a^2)^2-{\Delta}a^2\sin^2{\theta}>}{\rho^2}\sin^2{\theta}d{\phi}^2+2a\sin^2{\theta}d{\phi}dr+\frac{2arr_g}{\rho^2}\sin^2{\theta}dVd{\phi} \quad (5.21) \)

Связь между координатами Керра и Бойера-Линдквиста:

\( \phi=\varphi+\frac{a}{2\delta}ln\frac{r-r_{+}}{r-r_{-}}+\pi/2 \qquad \delta=\sqrt{(r_g/2)^2-a^2} \)

\( r_{+}=r_g/2+\delta \qquad r_{-}=r_g/2-\delta \)

Метрика Казнераплоской анизотропной модели. (ЛЛ-2, 117.8) (с=1 )

\( ds^2=dt^2- t^{2p_1}dx^2-t^{2p_2}dy^2-t^{2p_3}dz^2 \quad (5.22) \)

\( p_1+p_2+p_3=1 , \qquad p_1^2+p_2^2+p_3^2=1 \)

\( p_1=\frac{-u}{1+u+u^2} \) \(\qquad p_2=\frac{1+u}{1+u+u^2} \) \(\qquad p_1=\frac{u(u+1)}{1+u+u^2} \) \( \qquad 0< u <1 \)
* -