5 ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ


5.0 Вакуумные решения


Интервал псевдоевклидового пространства (метрика Минковского ) в галилеевых координатах

\( ds^2=c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2 \quad (5.00) \)

То же в сферических координатах:

\( ds^2=c^2dt^2-dr^2-r^2(\sin^2{\theta}d{\varphi}^2+d{\theta}^2) \quad (5.01) \)

5.1 Вакуумные решения сферически симметричного не вращающегося тела (метрика Шварцшильда).

В стандартных сферических координатах Шварцшильда (ЛЛ-2 пар.100):

\( ds^2= (1-r_g/r)c^2dt^2-\frac{dr^2}{1-r_g/r}-r^2(\sin^2{\theta}d{\varphi}^2+d{\theta}^2)\quad (5.10) \)

\( r_g=2MG/c^2 \)
Метрика Шварцшильда в стандартных прямоугольных координатах (Вайнберг, после 8.2.15):

\( ds^2=(1-r_g/r)c^2dt^2-\frac{r_g}{r^3(1-r_g/r)}(xdx+ydy+zdz)^2-dx^2-dy^2-dz^2\quad (5.11) \)

\( r=\sqrt{x^2+y^2+z^2} \)

Метрика Шварцшильда в гармонических координатах:

\( ds^2=\frac{r-r_g/2}{r+r_g/2}c^2dt^2- \frac{r+r_g/2}{r-r_g/2}dr^2-(r+r_g/2)^2(\sin^2{\theta}d{\varphi}^2+d{\theta}^2)\quad (5.12) \)

Метрика Шварцшильда в гармонических прямоугольных координатах (Фок, 58.05, Вайнберг (8.2.12)):

\( ds^2=\frac{r-r_g/2}{r+r_g/2}c^2dt^2- (1+\frac{r_g}{2r})^2(dx^2+dy^2+dz^2)-\frac{r+r_g/2}{r-r_g/2}\frac{(r_g/2)^2}{r^4}(xdx+ydy+zdz)^2\quad (5.13) \)

Метрика Шварцшильда в изотропных координатах (Вайнберг 8.2.14):

\( ds^2=\frac{(1-\frac{r_g}{4r})^2}{(1+\frac{r_g}{4r})^2}c^2dt^2- (1+\frac{r_g}{4r})^4(dx^2+dy^2+dz^2)\quad (5.14) \)

Метрика Пенливе (Брумберг (22)):

\( ds^2=(1-\frac{r_g}{r})c^2dt^2+2\sqrt{\frac{r_g}{r}}c dtdr-dr^2-r^2(\sin^2{\theta}d{\varphi}^2+d{\theta}^2)\quad (5.15) \)

то же в прямоугольных координатах (Брумберг (23)):

\( ds^2=(1-\frac{r_g}{r})c^2dt^2+2\sqrt{\frac{r_g}{r^3}}c dt(xdx+ydy+zdz)- dx^2-dy^2-dz^2 \quad (5.16) \)

Метрика Леметра (ЛЛ-2 , 102.3)

\( ds^2=c^2d{\tau}^2-\frac{dR^2}{[\frac{3}{2r_g}(R-c{\tau})]^{2/3}}-[(\frac{3}{2}(R-c{\tau})]^{4/3}r_g^{2/3}(\sin^2{\theta}d{\varphi}^2+d{\theta}^2)\quad (5.17) \)