2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА


Преобразование контравариантного тензора (ЛЛ-2 83.5):


\( A^{ik}=\frac{\partial{x^{i}}}{\partial{x'^{l}}}\frac{\partial{x^{k}}}{\partial{x'^{m}}}A'^{lm} \quad (2.0) \)

Преобразование ковариантного тензора (ЛЛ-2 83.6):

\( A_{ik}=\frac{\partial{x'^{l}}}{\partial{x^{i}}}\frac{\partial{x'^{m}}}{\partial{x^{k}}}A'_{lm} \quad (2.1) \)

Преобразование смешанного тензора (ЛЛ-2 83.7):

\( A^{i}_{k}=\frac{\partial{x^{i}}}{\partial{x'^{l}}}\frac{\partial{x'^{m}}}{\partial{x^{k}}}A'^{l}_{m} \quad (2.2) \)

Символы Кристоффеля (ЛЛ-2 86.3):

\( \Gamma^i_{kl}=1/2g^{im}(\frac{\partial{g_{mk}}}{\partial{x^{l}}}+\frac{\partial{g_{ml}}}{\partial{x^{k}}}-\frac{\partial{g_{kl}}}{\partial{x^{m}}} ) \quad (2.3) \)

Уравнение геодезической (ЛЛ-2 87.3) :

\( \frac{d^2{x}^i}{ds^2}+\Gamma^i_{kl}\frac{dx^k}{ds}\frac{dx^l}{ds}=0 \quad (2.4) \)

Тензор кривизны Римана Кристоффеля (ЛЛ-2 92.1):

\( R_{iklm}=\frac{1}{2}(\frac{\partial^2{g_{im}}}{\partial{x^{k}}\partial{x^{l}}}+\frac{\partial^2{g_{kl}}}{\partial{x^{i}}\partial{x^{m}}}-\frac{\partial^2{g_{il}}}{\partial{x^{k}}\partial{x^{m}}}-\frac{\partial^2{g_{km}}}{\partial{x^{i}}\partial{x^{l}}})+g_{np}(\Gamma^n_{kl}\Gamma^p_{im}-\Gamma^n_{km}\Gamma^p_{il}) \quad (2.5) \)

Тензор Риччи (92.7):

\( R_{ik}=\frac{\partial{\Gamma^l_{ik}}}{\partial{x^{l}}}-\frac{\partial{\Gamma^l_{il}}}{\partial{x^{k}}} +\Gamma^l_{ik}\Gamma^m_{lm}-\Gamma^m_{il}\Gamma^l_{km} \quad (2.6) \)



[/quote]