5.4 Решения внутри вещества при определенном состоянии вещества


Внутреннее решение для статического шара при однородной плотности (Вайнберг стр. 356, 11.6.4-11.6.6) \( \epsilon \)=const \( c=1 \):

\( ds^2=B(r)dt^2-A(r)dr^2-r^2(\sin^2{\theta}d{\varphi}^2+d{\theta}^2) \quad(5.40) \)

\( A=\frac{1}{1-2MGr^2/R^3} \)

\( B(r)=\frac{1}{4}(3\sqrt{1-\frac{2MG}{R}}-\sqrt{1-\frac{2MGr^2}{R^3}})^2 \)

\( \epsilon=const=\frac{3M}{4{\pi}R^3} \qquad M(R)=\int_{0}^{R}{4{\pi}r^2{\epsilon(r)}dr} \)

\( R \) - граница шара в координатах Шварцшильда, Сингулярность : \( r_{\infty}=9R^2-\frac{4R^3}{MG} \).. \( \frac{9MG}{4}=\frac{9}{8}\frac{r_g}{R} \) ,.. \( r_g=2MG \)

Внутреннее решение для статического шара при произвольном распределении давления и плотности \( p(r) \quad {\epsilon}(r) \).

Основное уравнение ньютоновской астрофизики (Вайнберг 11.1.13):

\( -r^2\frac{dp(r)}{dr}=\frac{M(r)G{\epsilon}(r)(1+p/{\epsilon})(1+4{\pi}r^3{\epsilon}/M(r))}{1-\frac{2M(r)G}{r}} \)

\( M(r)=\int_{0}^{r}{4{\pi}\bar{r}^2{\epsilon(\bar{r})}d\bar{r}} \quad(5.41) \)

Коллапс пылевидной сферы (пар 103, ЛЛ-2).

\( ds^2=d{\tau}^2-\frac{r'^2}{f(R)+1}dR^2-r(\tau,R)^2(\sin^2{\theta}d{\varphi}^2+d{\theta}^2) \quad(5.42) \)

\( \dot{r}^2=f(R)+F(R)/r \)

\( -1 < f(R) < 0 \quad F(a_0)=r_g \)

\( 8{\pi}G{\epsilon}=\frac{F'}{r'r^2} \)